Peluang Kejadian Majemuk
Matematikastudycenter.com- Contoh soal pembahasan menentukan peluang kejadian majemuk atau peluang gabungan dua kejadian, termasuk saling lepas, saling bebas dan kejadian bersyarat matematika kelas 11 SMA.
Soal No. 1
Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3.
Pembahasan
Ada dua kejadian, namakan kejadian A dan kejadian B dengan ruang sampel pada pelemparan satu dadu.
A = kejadian munculnya angka genap.
B = kejadian munculnya angka lebih besar dari 3.
Soal No. 1
Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3.
Pembahasan
Ada dua kejadian, namakan kejadian A dan kejadian B dengan ruang sampel pada pelemparan satu dadu.
A = kejadian munculnya angka genap.
B = kejadian munculnya angka lebih besar dari 3.
Selengkapnya data-datanya terlebih dahulu adalah:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
A = {2, 4, 6}
n(A) = 3
maka peluang kejadian A
P (A) = n (A) / n(S) = 3 / 6
B = {4, 5, 6}
n(B) = 3
maka peluang kejadian B
P (B) = n(B) / n(S) = 3 / 6
Kelihatan ada dua angka yang sama dari A dan B yaitu angka 4 dan 6, jadikan irisannya, A ∩ B
A ∩ B = {4, 6}
n(A ∩ B) = 2
Sehingga peluang A ∩ B
P (A ∩ B) = n (A ∩ B) / n (S) = 2 / 6
Rumus peluang kejadian "A atau B"
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 3/6 + 3/6 − 2/6
= 4/6 = 2/3
Soal No. 2
Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah angka kedua dadu sama dengan 3 atau 10 adalah....
A. 2/36
B. 3/36
C. 4/36
D. 5/36
D. 6/36
Pembahasan
Dua kejadian pada pelemparan dua buah dadu, n(S) = 36,
A = jumlah angka adalah 3
B = jumlah angka adalah 10
Dari ruang sampel pelemparan dua buah dadu, diperoleh
A = {(1, 2), (2, 1)}
B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
n (A) = 2 → P(A) = 2/36
n (B) = 3 → P(B) = 3/36
Tidak ada yang sama antara A dan B, jadi n (A ∩B) = 0
Sehingga peluang "A atau B" adalah
P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
= 2/36 + 3/36
= 5/36
Soal No. 3
Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambil bola merah atau hitam adalah....
A. 4/5
B. 7/10
C. 3/6
D. 2/6
E. 1/10
Pembahasan
Jumlah semua bola yang ada dalam kantong adalah
4 + 3 + 3 = 10 bola. Dari 10 bola diambil satu bola.
A = kejadian terambil bola merah.
B = kejadian terambil bola hitam.
Bola merah ada 4, sehingga peluang terambil bola merah:
P(A) = 4/10
Bola hitam ada 3, sehingga peluang terambil bola hitam:
P(B) = 3/10
Peluang terambil bola merah atau hitam:
P(A∪B) = P(A) + P(B)
= 4/10 + 3/10
= 7/10
B = kejadian terambil bola hitam.
Bola merah ada 4, sehingga peluang terambil bola merah:
P(A) = 4/10
Bola hitam ada 3, sehingga peluang terambil bola hitam:
P(B) = 3/10
Peluang terambil bola merah atau hitam:
P(A∪B) = P(A) + P(B)
= 4/10 + 3/10
= 7/10
Catatan:
| Untuk P (A ∪ B) = P(A) + P(B) Dinamakan kejadian saling asing atau saling lepas. |
Soal No. 4
Dalam sebuah kelompok 30 siswa, 10 orang suka matematika, 15 orang suka Fisika dan 5 orang suka kedua-duanya. Jika dipilih satu orang dari kelompok tersebut, tentukan peluang yang terpilih itu:
a) suka matematika dan fisika
b) suka matematika atau fisika
Pembahasan
A = kejadian yang terpilih suka matematika
B = kejadian yang terpilih suka fisika
P(A) = 10/30
P(B) = 15/30
a) suka matematika dan fisika
yang suka matematika dan fisika ada 5 orang, dari 30 anak
P(A∩B) = 5/30
b) suka matematika atau fisika
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
= 10/30 + 15/30 − 5/30
= 20/30
Dalam sebuah kelompok 30 siswa, 10 orang suka matematika, 15 orang suka Fisika dan 5 orang suka kedua-duanya. Jika dipilih satu orang dari kelompok tersebut, tentukan peluang yang terpilih itu:
a) suka matematika dan fisika
b) suka matematika atau fisika
Pembahasan
A = kejadian yang terpilih suka matematika
B = kejadian yang terpilih suka fisika
P(A) = 10/30
P(B) = 15/30
a) suka matematika dan fisika
yang suka matematika dan fisika ada 5 orang, dari 30 anak
P(A∩B) = 5/30
b) suka matematika atau fisika
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
= 10/30 + 15/30 − 5/30
= 20/30
Soal No. 5
Kotak I berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak II berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil 1 bola. Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah....
A. 1/40
B. 3/20
C. 3/8
D. 2/5
E. 31/40
Pembahasan
P(A) = peluang terambil bola merah dari kotak I.
Dalam kotak I ada 2 bola merah dari 5 bola yang ada di kotak A. Sehingga peluang terambilnya bola merah dari kotak I adalah
P(A) = 2/5
P(B) = peluang terambil bola putih dari kotak II.
Dalam kotak II ada 3 bola putih dari 8 bola yang ada di kotak II. Sehingga peluang terambilnya bola putih dari kotak II adalah
P (B) = 3/8
Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah
P(A∩B) = P(A) × P(B)
= 2/5 × 3/8
= 6/40
= 3/20
Penjelasan panjangnya sebagai berikut:
Isi kotak I adalah 2 merah, 3 putih. Beri nama sebagai:
M1, M2, P1, P2, P3.
Isi kotak II adalah 5 merah, 3 putih:
m1, m2, m3, m4, m5, p1, p2, p3 (biar beda hurufnya kecil)
Menentukan Ruang sampelnya
Jumlah titik sampelnya ada 40, jadi n(S) = 40. Dapatnya dari 5 x 8 = 40. Diagram pohonnya jika perlu seperti berikut:
M1, M2, P1, P2, P3 di kotak I dan pasangannya dari kotak II:
S ={(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1),..............., (P3, p2), (P3, p3) }
n(S) = 40
A = terambil bola merah dari kotak I.
A = {(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1), (M2, m2), (M2, m3), (M2, m4), (M2, m5), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3) }
n(A) = 16
Sehingga P(A) = 16/40
B = terambil bola putih dari kotak II
B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3), (P1, p1), (P1, p2), (P1, p3), (P2, p1), (P2, p2), (P2, p3), (P3, p1), (P3, p2), (P3, p3)}
n(B) = 15
Jadi P(B) = 15/40
Irisan antara A dan B (yang sama):
A ∩ B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3}
n(A ∩ B ) = 6
Sehingga P(A ∩ B ) = 6/40 = 3/20
Catatan:
Kotak I berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak II berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil 1 bola. Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah....
A. 1/40
B. 3/20
C. 3/8
D. 2/5
E. 31/40
Pembahasan
P(A) = peluang terambil bola merah dari kotak I.
Dalam kotak I ada 2 bola merah dari 5 bola yang ada di kotak A. Sehingga peluang terambilnya bola merah dari kotak I adalah
P(A) = 2/5
P(B) = peluang terambil bola putih dari kotak II.
Dalam kotak II ada 3 bola putih dari 8 bola yang ada di kotak II. Sehingga peluang terambilnya bola putih dari kotak II adalah
P (B) = 3/8
Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah
P(A∩B) = P(A) × P(B)
= 2/5 × 3/8
= 6/40
= 3/20
Penjelasan panjangnya sebagai berikut:
Isi kotak I adalah 2 merah, 3 putih. Beri nama sebagai:
M1, M2, P1, P2, P3.
Isi kotak II adalah 5 merah, 3 putih:
m1, m2, m3, m4, m5, p1, p2, p3 (biar beda hurufnya kecil)
Menentukan Ruang sampelnya
Jumlah titik sampelnya ada 40, jadi n(S) = 40. Dapatnya dari 5 x 8 = 40. Diagram pohonnya jika perlu seperti berikut:
M1, M2, P1, P2, P3 di kotak I dan pasangannya dari kotak II:
S ={(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1),..............., (P3, p2), (P3, p3) }
n(S) = 40
A = terambil bola merah dari kotak I.
A = {(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1), (M2, m2), (M2, m3), (M2, m4), (M2, m5), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3) }
n(A) = 16
Sehingga P(A) = 16/40
B = terambil bola putih dari kotak II
B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3), (P1, p1), (P1, p2), (P1, p3), (P2, p1), (P2, p2), (P2, p3), (P3, p1), (P3, p2), (P3, p3)}
n(B) = 15
Jadi P(B) = 15/40
Irisan antara A dan B (yang sama):
A ∩ B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3}
n(A ∩ B ) = 6
Sehingga P(A ∩ B ) = 6/40 = 3/20
Catatan:
| Untuk P (A ∩ B) = P(A) × P(B) Dinamakan kejadian saling bebas. |
Soal No. 6
Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilemparkan sekali bersama-sama di atas meja. Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam adalah...
A. 1/24
B. 1/12
C. 1/8
D. 2/3
E. 5/6
(Modifikasi ebtanas 1994)
Pembahasan
A = kejadian munculnya angka 5 pada pelemparan dadu.
Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Diperoleh
n(S) = 6
n(A) = 1
Sehingga P(A) = 1/6
B = kejadian munculnya angka pada pelemparan uang logam.
Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {A, G} dengan A = angka, G = Gambar
n(S) = 2
n(B) = 1
Sehingga P(B) = 1/2
Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam dengan demikian adalah
P(A∩B) = P(A) × P(B)
= 1/6 × 1/2 = 1/12
Soal No. 7
Dalam sebuah keranjang A yang berisi 10 buah jeruk, 2 buah jeruk diantaranya busuk, sedangkan dalam keranjang B yang berisi 15 buah salak, 3 diantaranya busuk. Ibu menghendaki 5 buah jeruk dan 5 buah salak yang baik, peluangnya adalah....
A. 16/273
B. 26/273
C. 42/273
D. 48/273
E. 56/273
(Teori peluang - un 2006)
Pembahasan
10 buah jeruk di keranjang A, 2 buah busuk, artinya 8 yang bagus.
15 buah salak di keranjang B, 3 buah busuk, artinya 12 yang bagus.
A : kejadian terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A.
B : kejadian terpilih 5 salak bagus dari keranjang B.
Menentukan peluang dari kejadian A
Pengambilan 5 buah jeruk dari 10 buah jeruk yang ada di keranjang A, menghasilkan banyak cara (titik sampel) sejumlah
Sementara itu pengambilan 5 buah jeruk bagus dari 8 jeruk bagus yang ada di keranjang A menghasilkan cara sejumlah
Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A
Menentukan peluang dari kejadian B
Pengambilan 5 buah salak dari 15 buah salak yang ada di keranjang B, menghasilkan banyak cara sejumlah
Sementara itu pengambilan 5 buah salak bagus dari 12 salak bagus yang ada di keranjang A menghasilkan cara sejumlah
Sehingga peluang terpilih 5 salak bagus dari keranjang B
Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A dan 5 salak bagus dari keranjang B
